Nous avons vu à la section 5.2.1 que l'erreur
quadratique d'un multi-ensemble permet de mesurer
l'homogénéité de . De même, l'erreur quadratique d'une
partition permet de mesurer l'homogénéité des ensembles formant
la partition. L'utilisation de l'erreur quadratique pour la
quantification repose sur le fait qu'une partition en un ensemble de
multi-ensembles homogènes fournira une image quantifiée
visuellement proche de l'original. Une des justifications de ce
postulat repose sur la propriété suivante :
La pré-condition 6.8 étant généralement
vérifiée, l'erreur de partition peut se voir comme la somme pixel
à pixel des différences de couleurs au carré entre l'image
originale et l'image quantifiée. Il est toutefois dangereux de voir
l'erreur quadratique comme une fonction de distance entre l'image
originale et l'image quantifiée. Ceci est confirmé par
l'expérience suivante. L'image 6.4-(a) est obtenue
à partir de l'image 6.3 par une quantification en 8
couleurs. L'image originale 6.3 comporte 15 738 couleurs. Si
nous appliquons l'algorithme de tramage (ou dithering) de
Floyd-Steinberg [FS76] sur l'image
quantifiée 6.4-(a) nous obtenons
l'image 6.4-(b) qui est visuellement beaucoup plus
proche de l'image originale 6.3. L'erreur quadratique de
l'image 6.4-(b) est pourtant plus élevée que celle
de l'image 6.4-(a), la différence relative entre les
deux erreurs étant d'environ 30%. Ce phénomène a priori
surprenant est dû au fait que l'algorithme de tramage a brisé la
partition créée par l'algorithme de quantification. La nouvelle
partition créée par l'algorithme de tramage tient compte de
propriétés locales de l'image ce qui n'est pas pris en compte dans
l'erreur quadratique. Les multi-ensembles créés par l'étape de
tramage ne sont plus forcément connexes et sont a priori moins
homogènes. L'erreur quadratique de ces multi-ensembles est donc plus
importante que celle produite par les multi-ensembles issus de la
quantification. Orchard [OB91] a défini une erreur
quadratique pondérée permettant de tenir compte des
propriétés locales de l'image durant l'étape de
quantification. Orchard remplace dans la définition de l'erreur
quadratique (voir définition 4) la fonction de
fréquence par la fonction de fréquence pondérée
,
où
est définie comme une somme d'attributs calculés
localement sur tous les pixels de couleur
de l'image. Dans ce
cadre, l'erreur quadratique définie dans la
section 5.2.1 peut se voir comme un cas
particulier d'erreur quadratique pondérée où l'attribut d'un
pixel de couleur
est égal à 1. Cette fonction de pondération
permet de donner plus de poids aux couleurs de l'image majoritairement
situées dans des régions sensibles aux erreurs de quantification.
3stoneRochers : image originale stone_q_dithApplication de l'algorithme de Floyd-Stenberg sur l'image (a)