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Canny [Can86] modélise un contour
comme la superposition
d'un saut d'amplitude
et d'un bruit blanc
.
La fonction
est modélisée par la fonction
où
est la fonction caractéristique.
Suivant ce formalisme, le détecteur de contour idéal
est celui
qui, convolué à
, présente un maximum en 0. Cette contrainte
n'étant pas suffisante pour déterminer
, Canny impose trois
conditions supplémentaires à son détecteur de contour :
- Une bonne détection
- Une bonne localisation
- Une faible multiplicité des maxima dûs au bruit.
La formalisation de ces trois conditions impose à la fonction
de
respecter l'équation différentielle suivante :
Les conditions aux limites imposées à la fonction
permettent
de fixer les paramètres
. Les
conditions imposées par Canny permettent d'obtenir une fonction
à support fini
:
Malheureusement, ces conditions donnent une fonction
très
coûteuse à implémenter. Partant de ce constat,
Deriche [Der87] a défini d'autres conditions aux limites
donnant à la fonction
un support infini :
Ces conditions initiales donnent la fonction :
L'analyse des critères donnés par Canny [Can86] montre
que les meilleures performances du filtre sont obtenues pour
tendant vers 0. On obtient à ce moment là
avec
. Le paramètre
est un paramètre de
normalisation, le paramètre
contrôle quant à lui la
sensibilité de l'opérateur de détection de contour. Une
augmentation de
favorise la détection au détriment de la
localisation et vice-versa. Le paramètre
joue ici
exactement le même rôle que le paramètre
dans la
définition du gradient de la gaussienne.
Deriche construit à partir de
une fonction de lissage 1D
définie par :
On définit alors la fonction de lissage 2D
par :
La fonction
joue ici le rôle de la gaussienne, et le filtrage
de l'image s'obtient en convoluant celle-ci avec
. Une fois l'image
lissée, on peut calculer son gradient ou son laplacien. Ces deux
opérations s'effectuent en convoluant l'image avec le gradient ou le
laplacien de
.
L'avantage des opérateurs de Deriche par rapport à ceux de Canny
vient du fait que les techniques de la transformée en
[Der87], appliquées à la fonction
et à ses
dérivées, permettent de calculer de façon récursive la
convolution des opérateurs de Deriche avec l'image. Si, par exemple,
nous effectuons la convolution d'un signal mono-dimensionnel
avec la fonction échantillonnée
, le signal final
se
déduit des équations suivantes [DC87] :
où
représente la taille du signal et où les coefficients
et
se déduisent du paramètre
.
L'application de l'algorithme décrit par les
équations précédentes nécessite 8 opérations par point
quelle que soit la valeur de
. Les filtres de Deriche
présentent donc les avantages suivants :
- Ils s'appuient sur une étude théorique permettant de juger et comparer différents détecteurs de contours
- Leur expression, plus simple que la gaussienne, permet, grâce à
la transformée en
, d'obtenir une définition récursive de la
convolution. Cette récursivité permet d'effectuer l'opération de
convolution en un nombre fixe d'opérations par point de l'image,
indépendamment du paramètre
.
Shen et Castan [SC92,CZS89] ont adopté une démarche
similaire à celle de Canny [Can86]. Les différences entre
les deux méthodes portent sur la formalisation des critères
décrivant un détecteur de contour optimal. La fonction obtenue par
Shen est égale à
. Cette fonction permet de
définir des opérateurs de lissage, de gradient et de laplacien et
d'effectuer une transformée en
[Mon90] permettant une
implémentation récursive.
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Brun Luc
2004-03-25