Ondes planes

Une onde électromagnétique est définie par deux champs $E(M,t)$, et $B(M,t)$ fonctions de 4 variables (trois coordonnées spaciales et une temporelle). Une onde électromagnétique est qualifiée de plane lorsque ses coordonnées spaciales ne dépendent que d'un seul paramètre. On obtient alors deux champs $E(x,t)$ et $B(x,t)$ fonction d'une coordonnée spaciale et d'une coordonnée temporelle (voir Figure 2.3).

ondes_planesIllustration d'une onde électromagnétique plane. L'onde se propage dans ce cas sur l'axe des $x$

Si une onde électromagnétique se propage dans un milieu dépourvu de charges et de courant ($\rho=0$ et $i=0$), les équations de Maxwell se simplifient et permettent d'obtenir deux équations differentielles décrivant l'évolution des champs $E$ et $B$ :

$$\laplac{E}=\frac{1}{c^2}\derivxx{E}{t},\quad \laplac{B}=\frac{1}{c^2}\derivxx{B}{t}$$

Appliquées aux ondes planes ces équations deviennent :

$$\derivxx{E}{x}=\frac{1}{c^2}\derivxx{E}{t},\quad \derivxx{B}{x}=\frac{1}{c^2}\derivxx{B}{t}$$

dont la solution générale est :

$$\begin{array}{lll} E(x,t)&=&E_1(t-\frac{x}{c})+E_2(t+\frac{x... ... B(x,t)&=&B_1(t-\frac{x}{c})+B_2(t+\frac{x}{c})\\ \end{array}$$

où $(E_1,B_1)$ et $(E_2,B_2)$ sont deux champs électromagnétiques se propageant en sens inverse sur l'axe des $x$ à la vitesse $c$.

Si $\vect{u_x}$ définit le vecteur unitaire de propagation de l'onde plane, les équations de Maxwell nous permettent encore une fois de lier les champs $E(x,t)$ et $B(x,t)$ :

$$E(x,t) = cB(x,t)\land \vect{u_x},\quad B(x,t)=\frac{1}{c}\vect{u_x}\land E(x,t)$$

Les champs $E$ et $B$ d'une onde plane vérifient donc les propriérés suivantes :

• Ils sont transversaux ( $E \perp \vect{u_x}$ et $B\perp \vect{u_x}$)

• Ils sont orthogonaux ($E\perp B$)

• Les vecteurs $(E,B,\vect{u_x})$ forment un trièdre direct

• Le rapport des modules des champs $E$ et $B$ est constant et égal à $c$ ( $\frac{\vert\vert E\vert\vert}{\vert\vert B\vert\vert}=c$).

Le vecteur de Poyting $R$ et la densité volumique d'énergie $\varpi$ sont égaux à:

$$R=\frac{E^2}{c\mu}\vect{u_x}, \quad \varpi=\epsilon E^2=\frac{B^2}{\mu}$$