Energie d'une onde électromagnétique

La puissance par mètre carré ($W.m^{-2}$) d'une onde éléctromagnétique est exprimée par le vecteur de Poynting défini par:

$$R= \frac{E\land B}{\mu}$$

décrit la direction suivant laquelle s'écoule l'énergie électromagnétique. La densité volumique d'énergie est quant à elle définie par:

$$\varpi=\frac{\epsilon E^2}{2}+\frac{B^2}{2\mu}$$

Ces deux quantités sont reliées par l'équation suivante:

$$div(R)+\deriv{\varpi}{t}+iE=0$$

dans le cas d'un milieu sans courant de conduction, cette équation devient:

$$div(R) =-\deriv{\varpi}{t}$$

La puissance rayonnée par un champ électromagnétique à travers une surface fermée peut dont s'exprimer alternativement comme la dérivée par rapport au temps de l'énergie volumique ou comme le flux du vecteur de poyting à travers cette même surface :

$${\cal P}=\iint\limits_S RdS$$

L'oeil humain étant sensible à la puissance du champ électromagnétique par la longueur d'onde, l'impression colorée est provoquée par le flux de vecteurs de Poyting associées à différentes longueurs d'ondes(voir Figure 2.1) sur la surface des recepteurs de l'oeil. L'ensemble des longueurs d'ondes auxqu'elles est sensible l'oeil humain se situe entre 360 et 830 nano-mètres. On peut donc représenter une onde arrivant sur l'oeil par une courbe (voir figure 2.2) donnant la puissance associée à chaque longueur d'onde $\lambda$.

longueurs_d_ondesCette figure représente le classement des ondes électromagnétiques en fonction de leurs longueurs d'ondes. Le spectre visible se situe entre 450 et 680 nanomètres($10^{-9}$ mètres) et représente donc une tres faible part du spectre

spectreUn spectre lumineux donnant la puissance en fonction de la longueur d'onde. Ce spectre est légèrement binomial avec des maximums dans les basses et hautes longueurs d'ondes. Il devrait donc correspondre à une couleur pourpre.

Les impressions de couleur en fonction des longueurs d'ondes se répartissent approximativement comme suit:

• Autour de 450 nm : Impression de bleu

• Entre 500 et 570 nm : impression de vert
• Entre 570 et 600 nm : impression de Jaune
• Entre 600 et 700 nm : impression de rouge.

La longueur d'onde de l'énergie électromagnétique détermine donc la chrominance alors que la puissance de l'onde détermine la luminance.

Chaque source lumineuse (lampe, néon, soleil) possède son propre spectre. Les spectres suivants sont reconnus comme des standards par la commission internationale de l'éclairage (CIE):

• D65 et D50 correspondent à la lumière du jour, liés à des températures de 6500 et 5000 K.
• A correspond à une lampe à incandescence à 2856 K.

L'irradiance d'une onde électromagnétique est définie comme la quantité d'énergie de l'onde par unité de surface ($W.m^{-2}$) :

$$I= \frac{d\Phi_i}{dA}$$

où $d\Phi_i$ (W) représente le flux d'énergie et $dA$ ($m^2$) un élément de surface.

La radiance ( $W.m^{-2}.sr^{-1}$) d'un élément de surface dans une direction $(\theta_r,\psi_r)$ est définie comme la quantité d'énergie émise par la surface par unité de surface et unité d'angle solide. La radiance d'un patch de surface $dA$ dans la direction $(\theta_r,\psi_r)$ est donc définie par :

$$L=\frac{d^2\Phi_r}{dA\cos(\theta_r)d\omega_r}$$

où $d\omega_r$ est l'angle solide sous lequel le patch de surface voit l'observateur et $d^2\Phi_r$ l'énergie émise dans le cône défini par $d\omega_r$.

Horn [Hor86] à montré que la radiance émise par un patch de surface était proportionnelle à l'irradiance à l'entrée des capteurs de la caméra. Plus précisément ces deux quantitées sont liées par :

$$I_r=L_r\frac{\pi}{4}\left(\frac{d}{f}\right)^2\cos(\gamma)$$

où $d$ et $f$ et $\gamma$ sont des paramètres de la caméra illustrés sur la Figure 2.8. Dans la plupart des applications nous pourrons supposer $\gamma=0$.

Finallement la réflectance ($sr^{-1}$) d'un matériau est égale au rapport entre la radiance émise par un patch de surface dans une direction et l'irradiance reçu par ce même patch de surface à partir d'une autre direction

$$R=\frac{L}{I}.$$

La réflectance est souvent également désignée par BRDF (Bi Directional Reflectance Distribution Function). Du point de vue d'un utilisateur de la physique, la BRDF est sans doute la quantité la plus utile puisqu'elle nous indique ce que renvoie une surface en fonction de ce quelle reçoit. Les différentes quantitées mentionnées ci-dessus sont résumés dans la Table 2.2.

Tableau 2.2: Quantités utilisées en électro-magnétisme. Les symboles $W, m$ et $sr$ désignent respectivement des Watts, mètres et stéradians

Nom	Symbole	Définition	Unité
Flux d'énergie	$d\Phi$		$W$
Irradiance	$I$	$\frac{d\Phi}{dA}$	$W.m^{-2}$
Radiance	$L$	$\frac{d^2\Phi}{dA\cos(\theta_r)d\omega_r}$	$W.m^{-2}.sr^{-1}$
Réflectance	$R$	$\frac{L}{I}$	$sr^{-1}$