Conversion entre espaces couleur

L'existence d'un triplet unique est justifiée par le fait que $(S^tp_1,S^tp_2,S^tp_3)$ forme une base de $\RR^3$. Donc tout vecteur s'écrit de manière unique dans cette base.

On déduit du cours que :

$$S^tf=\alpha_1^PS^tp_1+\alpha_2^PS^tp_2+\alpha_3^PS^tp_3$$

On obtient en exprimant $S^tp_1, S^tp_2, S^tp_3$ en fonction de $S^tq_1, S^tq_2, S^tq_3$ :

$$S^tf=(\alpha_1^Pa_{1,1}+\alpha_2^Pa_{1,2}+\alpha_3^Pa_{1,3})S^tq_... ...Pa_{2,3})S^tq_2+ (\alpha_1^Pa_{3,1}+\alpha_2^Pa_{3,2}+\alpha_3^Pa_{3,3})S^tq_3$$

Or :

$$S^tf=\alpha_1^QS^tq_1+\alpha_2^QS^tq_2+\alpha_3^QS^tq_3$$

cette décomposition étant unique. On a donc :

$$\left\{ \begin{array}{lll} \alpha_1^Q&=&\alpha_1^Pa_{1,1}+\alpha_... ...&=&\alpha_1^Pa_{3,1}+\alpha_2^Pa_{3,2}+\alpha_3^Pa_{3,3}\\ \end{array}\right.$$

Autrement dit:

$$\alpha^Q=\left( \begin{array}{ccc} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\ ... ..._{2,2} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\\ \end{array}\right) \alpha^P$$