Définition d'un espace couleur à partir de l'espace XYZ

1. Soit $Q=(q_1,q_2,q_3)$ le système de primaires de l'espace $XYZ$. On a en reprenant les notations de la question précédente:
   $$\forall i \in \{1,2,3\} \quad S^tp_i=X_iS^tq_1+Y_iS^tq_2+Z_iS^tq_3$$
   On a donc, toujours en reprenant les notations de la question précédente :
   $$\forall i \in \{1,2,3\} \quad a_{1,i}=X_i;\;a_{2,i}=Y_i;\;a_{3,i}=Z_i$$
   La matrice de conversion est donc égale à :
   $$\alpha^{XYZ}=\left( \begin{array}{ccc} X_1 & X_2 & X_3\\ Y_1 & Y_2 & Y_3\\ Z_1 & Z_2 & Z_3\\ \end{array}\right) \alpha^P$$
   où $\alpha^{XYZ}$ et $\alpha^P$ représentent les coordonnées d'une couleur dans l'espace $XYZ$ et dans le nouvel espace.

   Cette matrice de conversion peut s'interpreter comme une matrice de changement de base entre $(S^tp_1,S^tp_2,S^tp_3)$ et $(S^tq_1,s^tq_2,S^tq_3)$, elle est donc inversible.

2. On a d'après la définition de la projection sur le plan chromatique:
   $$x=\frac{X}{X+Y+Z} \Longrightarrow X=x(X+Y+Z)=tx$$
   de même pour chacune des composantes. L'ensemble des points obtenus décrit une droite de pente $(x,y,z)$ passant par l'origine.

3. Si nous exprimons les coordonnées des trois primaires $(p_1,p_2,p_3)$ dans le système $XYZ$ nous avons :
   $$\forall i \in \{1,2,3\} \quad S^tp_i=t_ix_iS^tq_1+t_iy_iS^tq_1+t_iz_iS^tq_3$$
   Soit $f_W$ un spectre associé au blanc $W$. On a :
   $$S^tf_W=1.S^tp_1+1.S^tp_2+1.S^tp_3$$
   En exprimant à nouveau chaque $S^tp_i$ en fonction de $(S^tq_1,S^tq_2,S^tq_3)$ on obtient :
   $$\begin{array}{lll} S^tf_W&=&(t_1x_1+t_2x_2+t_3x_3)S^tq_1+ (t... ..._3z_3)S^tq_3\\ &=&w_1S^tq_1+w_2S^tq_2+w_3S^tq_3\\ \end{array}$$
   On a donc :
   $$\left\{ \begin{array}{lll} t_1x_1+t_2x_2+t_3x_3&=&w_1\\ t_1... ...3y_3&=&w_2\\ t_1z_1+t_2z_2+t_3z_3&=&w_3\\ \end{array}\right.$$
   Ou sous forme matricielle :
   $$\left( \begin{array}[c]{ccc} x_1&x_2&x_3\\ y_1&y_2&y_3\\ z_1&z_... ...ray}\right) = \left( \begin{array}[c]{c} w_1\\ w_2\\ w_3\\ \end{array}\right)$$

4. Si $\{(x_1,y_1,z_1), (x_2,y_2,z_2), (x_3,y_3,z_3)\}$ forme un système libre, la matrice formée à partir de ces vecteurs est inversible. On peut donc déterminer $(t_1,t_2,t_3)$ en fonction de $(w_1,w_2,w_3)$. Ce qui nous donne les coordonnées des trois sources $p_1$, $p_2$ et $p_3$ dans le système $XYZ$. La réponse à la question 1 nous permet alors de construire la matrice de conversion du système $P=(p_1,p_2,p_3)$ au système $XYZ$. Cette matrice étant inversible, il nous suffit de l'inverser pour obtenir la matrice de transformation de l'espace $XYZ$ au nouvel espace. Le lecteur currieux pourra vérifier qu'il suffit que les points $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ et$(x_3,y_3)$ ne soient pas alignés pour que $\{(x_1,y_1,z_1), (x_2,y_2,z_2), (x_3,y_3,z_3)\}$ forme un système libre.

5. Cette façon de spécifier un espace couleur permet de ne spécifier que $9$ valeurs ($3\times2$ pour $(x_i,y_i)$ et $3$ pour $W$) ce qui est bien plus petit que la donnée des $3\times N$ valeurs définissant les spectres $p_1,p_2,p_3$. De plus ce mode de spécification permet de spécifier explicitement le blanc de l'espace couleur ce qui n'est donnée que de manière implicite par une spécification des coordonnées de $p_1,p_2$ et $p_3$ dans l'espace $XYZ$.