Définition d'un espace couleur à partir de l'espace XYZ

1. Soient $(X_1,Y_1,Z_1)$, $(X_2,Y_2,Z_2)$ et $(X_3,Y_3,Z_3)$ les coordonnées dans l'espace $XYZ$ de trois primaires $p_1,p_2,p_3$. Donnez la matrice de conversion de l'espace $P=(p_1,p_2,p_3)$ à l'espace $XYZ$. Indiquez en quelques lignes pourquoi la matrice de conversion est inversible.

2. Montrez que l'ensemble des triplets $(X,Y,Z)$ dont la projection sur le plan chromatique est égale au point $(x,y)$ s'écrit:
   $$\left( \begin{array}[c]{c} tx\\ ty\\ tz\\ \end{array}\right)$$
   où $t=X+Y+Z$ et $z=1-x-y$.

   Que décrit cet ensemble de points ? (une ou deux lignes)

3. On désigne par $(x_1,y_1)$,$(x_2,y_2)$ et $(x_3,y_3)$ les projections dans le plan chromatique de trois primaires de coordonnées $(t_1x_1,t_1y_1,t_1z_1)$, $(t_2x_2,t_2y_2,t_2z_2)$ et $(t_3x_3,t_3y_3,t_3z_3)$. On impose que le point de coordonnées $(1,1,1)$ dans ce nouveau système corresponde à un blanc $W$ de coordonnées $(w_1,w_2,w_3)$ dans le système $XYZ$. Montrez que l'on a :
   $$\left( \begin{array}[c]{ccc} x_1&x_2&x_3\\ y_1&y_2&y_3\\ z_1&z_... ...ray}\right) = \left( \begin{array}[c]{c} w_1\\ w_2\\ w_3\\ \end{array}\right)$$

4. Expliquez en quelques lignes pourquoi (et comment) si $\{(x_1,y_1,z_1), (x_2,y_2,z_2), (x_3,y_3,z_3)\}$ forme un système libre de $\RR^3$ nous pouvons construire la matrice de conversion de l'espace $XYZ$ au nouvel espace à partir des points $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$, $(x_3,y_3)$ et des coordonnées du blanc $W$.

5. Expliquez en quelques lignes les avantages de ce mode de spécification d'un espace couleur par rapport à :
   1. Une spécification des trois spectres $p_1,p_2$ et $p_3$.

   2. La donnée des coordonnées de $p_1,p_2$ et $p_3$ dans l'espace $XYZ$.