L'espace

L'espace introduit par Otha et al. [OKS80] répond à une approche totalement différente. Otha, Kanade et Sakai ont cherché l'espace de couleurs présentant le plus d'intérêt pour la segmentation et le traitement d'images. Ils ont constaté que l'on obtenait de bons résultats en utilisant l'espace de couleurs défini par les trois axes de plus grande variance de l'ensemble des couleurs associé à l'image. Un résultat bien connu en analyse de données établit que ces axes correspondent aux vecteurs propres de la matrice de covariance de l'ensemble de couleurs associé à l'image (voir Figure 4.8).

cube_lennaMulti-ensemble associé à l'image Lenna. Les vecteurs propres sont notés $V_1$, $V_2$ et $V_3$ dans l'ordre décroissant de leurs valeurs propres. La longueur des vecteurs est proportionnelle à leurs valeur propre.

Ce calcul des vecteurs propres de la matrice de covariance est souvent appelé la transformation de Karhunen-Loève dans la littérature anglo-saxone. Elle consiste à calculer tout d'abord la matrice de covariance définie par :

$$\left ( \begin{array}{ccc} var(x_1) & cov(x_1,x_1) & cov(x_1... ... cov(x_1,x_3) & cov(x_2,x_3) & var(x_3) \\ \end{array}\right)$$

où $var(x_i)_{i\in \{1,2,3\}}$ représente la variance du ${\i}^{eme}$ axe de l'espace de couleurs et $cov(x_i,x_j)_{i<j \in \{1,2,3\}}$ représente la covariance entre les axes $i$ et $j$ du même espace.

Cette matrice peut être calculée efficacement en utilisant les moments d'ordre 0, 1 et 2 de l'image :

$$\begin{array}{lll} M_0 &=&\sum_{P\in I} 1=\vert I\vert\\ M_... ...{P\in I} I(P)\\ M_2 &=&\sum_{P\in I} I(P)I(P)^t\\ \end{array}$$

où $I$ représente l'image, $\vert I\vert$ le nombre de pixels de l'image et $I(P)$ la couleur du pixel $P$.

Notez que $M_0$ représente une valeur réelle alors que $M_1$ est un vecteur 3D et $M_2$ une matrice de taille $3\times 3$. Etant donné les moments $M_0$, $M_1$ et $M_2$ (calculés en une passe de l'image), la matrice de covariance est définie par [OB91] :

$$C= \frac{1}{M0}M2 - \frac{M1M1^t}{M0^2}.$$

Cette matrice réelle et symétrique peut être diagonalisée sur une base orthogonale égale aux vecteurs propres de la matrice de covariance. De plus, chaque valeur propre de la matrice est égale à la variance de la projection des couleurs de l'image sur le vecteur propre associé. L'information portée par un vecteur propre $v_i$ est classiquement mesurée par :

$$\frac{\lambda_i}{\sum_{j=1}^3 \lambda_j}$$

où $\lambda_i$ représente la valeur propre du vecteur propre $v_i$.

Les tests établis par Otha et confirmés par nos propres expériences (voir Table 4.1 ) montrent que les vecteurs propres d'une image ``naturelle'' s'écartent très peu de trois directions constantes. Le terme ``image naturelle'' s'oppose ici à ``image de synthèse''. On désignera par ``image naturelle'' une image habituellement perçue par l'oeil.

Tableau 4.1: Les vecteurs propres $V_1$, $V_2$ et $V_3$ sont ordonnés dans l'ordre décroissant de leurs valeurs propres. Leurs coordonnées sont exprimées dans l'espace RGB pour chacune des images de test. Les moyennes et les écarts types calculés sur chacune des coordonnées sont affichés sur la dernière et l'avant dernière ligne.

	$V_1$			$V_2$			$V_3$
	R	G	B	R	G	B	R	G	B
Zelda	0.38	0.33	0.27	0.44	0.25	-0.30	-0.06	0.45	-0.47
Lenna	0.35	0.40	0.23	0.44	0.16	-0.39	-0.20	0.40	-0.39
Fleurs	0.41	0.38	0.20	0.32	0.01	-0.67	-0.36	0.47	-0.16
Anemone	0.31	0.37	0.31	0.49	0.01	-0.48	-0.26	0.45	-0.28
Mandrill	0.18	0.34	0.47	0.68	-0.02	-0.28	-0.15	0.52	-0.32
Moyennes	0.33	0.36	0.3	0.47	0.08	-0.42	-0.21	0.46	-0.32
$\sigma$	0.09	0.03	0.11	0.13	0.12	0.16	0.11	0.04	0.12

On constate sur la Table 4.1 que le vecteur propre de plus grande valeur propre $V_1$ peut être approximé par le vecteur $(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$. Ce vecteur définit un axe vectoriel correspondant à la luminosité. Le second vecteur propre $V_2$ peut quant à lui être approximé par $(\frac{1}{2},0,-\frac{1}{2})$. Ceci correspond à l'opposition rouge-bleu. Le dernier vecteur propre $V_3$ peut être approximé par : $(-\frac{1}{4},\frac{1}{2},-\frac{1}{4})$ ce qui correspond à l'opposition vert-violet. Ces trois vecteurs fournissent une nouvelle base permettant de définir un nouvel espace de couleurs déduit de l'espace par la transformation suivante :

$$\left\{ \begin{array}{ll} I_1 &=\frac{R+G+B}{3}\\ I_2 &= R-B \\ I_3 &= \frac{2G-(R+B)}{2}. \end{array}\right.$$

Étant donnés une image naturelle et son multi-ensemble associé, les axes $I_1$ $I_2$ et $I_3$ sont par construction proches des vecteurs propres de la matrice de covariance du multi-ensemble. Ceci a deux conséquences intéressantes en analyse d'image :

• Les variances des axes $I_1$, $I_2$ et $I_3$ seront importantes. En terme d'analyse de données, un axe de forte variance correspond à un axe contenant beaucoup d'informations.

• Les covariances entre les axes $I_1$, $I_2$ et $I_3$ seront faibles. Ceci signifie que chaque axe contient un seul type d'information. Par exemple, l'axe $R$ du système contient une information de luminance (l'intensité du rouge) et une information de chrominance. Cette double information luminance/chrominance est partagée entre l'axe $I_1$ qui code la luminance et les axes $I_2$ et $I_3$ codant la chrominance (voir [SB85] pour plus de détails sur ce point).

Le système contient donc un axe représentant la luminosité et deux axes représentant la chromaticité. Remarquons que les axes $I_2$ et $I_3$ ont été multipliés par un facteur 2. Ceci permet de renforcer l'importance de la chromaticité par rapport à la luminosité afin d'être plus en adéquation avec la vision humaine.