Beckmann modélise les micro-aspérités d'une surface à l'aide d'une
fonction aléatoire des variables
et
décrivant la
surface. La forme de la surface est donc déterminée par la densité de
probabilité de la fonction
. Beckmann propose d'utiliser une
distribution normale de moyenne nulle et d'écart type
. La
distribution de
est alors égale à :
Toutefois, une telle modélisation ne permet pas un contrôle efficace de
la forme de la surface. En effet, plusieurs tirages aléatoires de la
fonction avec le même
peuvent présenter un aspect très
différent. Intuitivement, la raison de cette limitation est que le
paramètre
contrôle l'altitude moyenne des pics de la fonction
mais pas l'écart entre deux pics (Figure 2.6).
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Afin de pallier à cette limitation, nous définissons un paramètre
qui représente la corrélation entre les altitudes de deux points séparés
par une distance
. Beckmann propose de représenter cette
corrélation par la fonction :
Étant donnée notre modélisation de la surface par les paramètres
et
, la position d'un patch de surface vis à vis de la source
lumineuse et de la caméra est représentée sur la
Figure 2.7(a). Le repère est choisi tel que
l'axe
soit confondu avec la normale
et l'axe
est
tel que le vecteur
décrivant la direction de la source
lumineuse soit dans le plan
avec une projection positive sur
l'axe
. La puissance de la source lumineuse est décrite par la
norme de son vecteur de Poynting
. Le vecteur
décrit la direction de la caméra tandis que le vecteur
est
défini comme la bissectrice de
et
. Ce
vecteur fait un angle
avec la normale à la surface
(Figure 2.7(b)). Notez que le vecteur
n'est pas nécessairement dans le même plan que
et
. L'angle
représente son écart vis-à-vis de ce
plan (Figure 2.7(a)).
Les paramètres
et les variables illustrées sur la
Figure 2.7 étant définis,
Nayar [NIK91] en se basant sur les travaux de Beckmann, a
montré que l'irradiance à l'entrée d'un capteur
de la
caméra provoquée par un patch de surface d'un conducteur parfait de
cotés
et
(Figure 2.8) pouvait être exprimée par :
Les paramètres et
dans l'équation 2.5 sont
relatifs à la caméra et illustrés sur la Figure 2.8. Notez
que pour une caméra placée raisonnablement loin de la scène nous
pouvons supposer
. Les termes
,
,
et
sont
issus de la résolution de l'intégrale d'Helmhotz et sont égaux à :
où
(Figure 2.7(b)).
reflexionRéflexion d' une onde électromagnétique frappant un des capteurs de la caméra
Le paramètre est proportionnel au carré du rapport
qui représente le rapport entre l'altitude moyenne de nos irrégularités
et la longueur d'onde de la source incidente. Le facteur
représente donc la rugosité de la surface et les cas
,
et
représenteront respectivement une surface lisse, modérément
rugueuse et rugueuse.
Le terme est une fonction qui décroît très rapidement dès que
ou
n'est pas proche de 0. Les coordonnées
et
sont égales à 0 lorsque
est confondu avec
. Dans ce cas,
est la bissectrice des vecteurs
sources et destination
et
. Ce type de
réflexion est appelé une réflexion spéculaire tandis que le terme
décrivant ce type de réflexion est appelé un pic
spéculaire. Le premier terme de
l'équation 2.5 correspond donc à une fonction pic dont
le maximum est atteint pour une réflexion spéculaire.
Le second terme de l'équation 2.5 est appelé le
lobe spéculaire ; ce terme correspond à une
fonction qui prend son maximum lorsque la direction d'observation
correspond à la direction spéculaire mais décroît plus lentement que
le pic spéculaire. Notez tout de même le facteur
qui décroît rapidement lorsque
ne correspond pas à la direction spéculaire
(
).
L'équation 2.5 se simplifie en fonction de la rugosité de la surface de la façon suivante :
Notez que pour , le lobe spéculaire est nul alors que le pic
spéculaire est maximum. Au fur et à mesure que la rugosité de la
surface augmente, le pic spéculaire diminue jusqu'à disparaître tandis
que le lobe spéculaire devient prépondérant.
Une description plus qualitative du pic et du lobe spéculaire sera donnée dans la Section 2.2.4; Nous pouvons toutefois dès à présent indiquer les conditions de validité de l'équation 2.5 :
Contrairement aux deux restrictions précédentes qui peuvent être ignorées dans la plupart des applications pratiques, cette dernière restriction interdit a priori d'utiliser l'équation 2.5 pour des isolants ou des matériaux de faible conductivité. Nous pouvons toutefois considérer que l'équation 2.5, sans nous donner une expression exacte de l'irradiance, nous fournit une bonne description qualitative du phénomène de réflexion à la surface d'un matériau. Cette hypothèse est confirmée par l'équation 2.9.