Le modèle de Beckmann-Spizzichino

Le modèle de Beckmann-Spizzichino [BS87] est basé sur les lois de l'électromagnétisme et sur une modélisation des micro-aspérités de la surface.

Beckmann modélise les micro-aspérités d'une surface à l'aide d'une fonction aléatoire $h$ des variables $x$ et $y$ décrivant la surface. La forme de la surface est donc déterminée par la densité de probabilité de la fonction $h$. Beckmann propose d'utiliser une distribution normale de moyenne nulle et d'écart type $\sigma _h$. La distribution de $h$ est alors égale à :

$$\rho_h(h)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_h}}e^{-\frac{h^2}{2\sigma_h^2}}.$$

Toutefois, une telle modélisation ne permet pas un contrôle efficace de la forme de la surface. En effet, plusieurs tirages aléatoires de la fonction $h$ avec le même $\sigma _h$ peuvent présenter un aspect très différent. Intuitivement, la raison de cette limitation est que le paramètre $\sigma _h$ contrôle l'altitude moyenne des pics de la fonction $h$ mais pas l'écart entre deux pics (Figure 2.6).

Figure 2.6: Deux surfaces aléatoires de valeur $\sigma _h$ identiques avec une forte (a) et une faible (b) distance de corrélation

Afin de pallier à cette limitation, nous définissons un paramètre $C(\tau)$ qui représente la corrélation entre les altitudes de deux points séparés par une distance $\tau$. Beckmann propose de représenter cette corrélation par la fonction :

$$C(\tau)=e^{-\frac{\tau^2}{T^2}}$$

où $T$ est la distance de corrélation pour laquelle $C(\tau)$ est égal à $e^{-1}$.

Étant donnée notre modélisation de la surface par les paramètres $\sigma _h$ et $T$, la position d'un patch de surface vis à vis de la source lumineuse et de la caméra est représentée sur la Figure 2.7(a). Le repère est choisi tel que l'axe $z$ soit confondu avec la normale $\vect{n}$ et l'axe $x$ est tel que le vecteur $\vect{k_1}$ décrivant la direction de la source lumineuse soit dans le plan $(Ozx)$ avec une projection positive sur l'axe $x$. La puissance de la source lumineuse est décrite par la norme de son vecteur de Poynting $P(\lambda)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}E_0^2(\lambda)$. Le vecteur $\vec{k_r}$ décrit la direction de la caméra tandis que le vecteur $\vec{\nu}$ est défini comme la bissectrice de $-\vect{k_1}$ et $\vect{k_r}$. Ce vecteur fait un angle $\alpha$ avec la normale à la surface (Figure 2.7(b)). Notez que le vecteur $\vect{k_r}$ n'est pas nécessairement dans le même plan que $\vect{n}$ et $\vect{k_1}$. L'angle $\psi_r$ représente son écart vis-à-vis de ce plan (Figure 2.7(a)).

Les paramètres $\sigma_h, T$ et les variables illustrées sur la Figure 2.7 étant définis, Nayar [NIK91] en se basant sur les travaux de Beckmann, a montré que l'irradiance à l'entrée d'un capteur $d A_{im}$ de la caméra provoquée par un patch de surface d'un conducteur parfait de cotés $X$ et $Y$ (Figure 2.8) pouvait être exprimée par :

$$\begin{split}<tex2html_comment_mark>28 I_r(\lambda) = &\frac{... ...^2\frac{T^2}{4m}} \right) <tex2html_comment_mark>30 \end{split}$$ (2.5)

Les paramètres $d,f$ et $\gamma$ dans l'équation 2.5 sont relatifs à la caméra et illustrés sur la Figure 2.8. Notez que pour une caméra placée raisonnablement loin de la scène nous pouvons supposer $\gamma \approx 0$. Les termes $g$, $\rho_0$, $\nu_{xy}$ et $D$ sont issus de la résolution de l'intégrale d'Helmhotz et sont égaux à :

$$\left\{ \begin{array}{lll} g&=& \left(2\pi\frac{\sigma_h}{\lambda... ...os(\psi_r)}{\cos(\theta_i)(\cos(\theta_i)+\cos(\theta_r))}\\ \end{array}\right.$$ (2.6)

où $\vect{\nu} =(\nu_x,\nu_y,\nu_z)$ (Figure 2.7(b)).

reflexionRéflexion d' une onde électromagnétique frappant un des capteurs de la caméra

Le paramètre $g$ est proportionnel au carré du rapport $\frac{\sigma_h}{\lambda}$ qui représente le rapport entre l'altitude moyenne de nos irrégularités et la longueur d'onde de la source incidente. Le facteur $g$ représente donc la rugosité de la surface et les cas $g<<1$, $g\approx 1$ et $g>>1$ représenteront respectivement une surface lisse, modérément rugueuse et rugueuse.

Le terme $\rho_0$ est une fonction qui décroît très rapidement dès que $\nu_xX$ ou $\nu_yY$ n'est pas proche de 0. Les coordonnées $\nu_x$ et $\nu_y$ sont égales à 0 lorsque $\vect{\nu}$ est confondu avec $\vect{n}$. Dans ce cas, $\vect{n}$ est la bissectrice des vecteurs sources et destination $-\vect{k_1}$ et $\vect{k_r}$. Ce type de réflexion est appelé une réflexion spéculaire tandis que le terme décrivant ce type de réflexion est appelé un pic spéculaire. Le premier terme de l'équation 2.5 correspond donc à une fonction pic dont le maximum est atteint pour une réflexion spéculaire.

Le second terme de l'équation 2.5 est appelé le lobe spéculaire ; ce terme correspond à une fonction qui prend son maximum lorsque la direction d'observation correspond à la direction spéculaire mais décroît plus lentement que le pic spéculaire. Notez tout de même le facteur $e^{-\upsilon_{xy}^2\frac{T^2}{4}}$ qui décroît rapidement lorsque $\vect{k_r}$ ne correspond pas à la direction spéculaire ( $\vec{\nu}=(0,0,1)$).

L'équation 2.5 se simplifie en fonction de la rugosité de la surface de la façon suivante :

• Pour une surface lisse $(g<<1)$ :

  $$I_{lisse}(\lambda) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}\frac{... ...^2 + \frac{K_{ls}D^2 g}{cos \theta_r} e^{-\upsilon_{xy}^2\frac{T^2}{4}} \right)$$ (2.7)

  
  

• Pour une surface rugueuse ($g>>1$) :

  $$I_{rugueux}(\lambda) = K_{ls}\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon... ... \upsilon_z^2 \sigma_h^2} \right)}}{\upsilon_z^2 \sigma_h^2} \cos(\theta_i) D^2$$ (2.8)

  
  

où $K_{ps}$ et$K_{ls}$ sont deux constantes.

Notez que pour $g=0$, le lobe spéculaire est nul alors que le pic spéculaire est maximum. Au fur et à mesure que la rugosité de la surface augmente, le pic spéculaire diminue jusqu'à disparaître tandis que le lobe spéculaire devient prépondérant.

Une description plus qualitative du pic et du lobe spéculaire sera donnée dans la Section 2.2.4; Nous pouvons toutefois dès à présent indiquer les conditions de validité de l'équation 2.5 :

1. Les irrégularités de la surface sont supposées suivre une distribution uniforme de moyenne nulle. Cette hypothèse est raisonnable lorsque l'on ne dispose d'aucune information à priori sur le type des irrégularités. Notons également que Beckmann [BS87] a défini l'irradiance pour de nombreux types d'irrégularités. Cette restriction peut donc être levée si l'on dispose d'informations plus précises sur la surface.

2. Le rayon de courbure des irrégularités doit être supérieur en tout point de la surface à la longueur d'onde du rayon incident. Cette restriction est indispensable pour pouvoir développer les équations physiques menant à l'équation 2.5. Les valeurs mesurées peuvent donc s'écarter de celles prédites par l'équation 2.5 si les irrégularités comportent des pics très étroits.

3. Le matériau doit être un conducteur parfait. Cette restriction est encore une fois dictée par des considérations pratiques afin de pouvoir intégrer l'intégrale d'Helmotz donnant le champ magnétique en un point $P$ à partir du champ magnétique sur la surface. Supposer que la matériau est un conducteur parfait revient à supposer que le coefficient de Fresnel $F$ est égal à $+1$ ou $-1$ selon la polarisation de l'onde. Beckmann propose d'approximer l'irradiance d'un matériau de conductivité finie en approximant le coefficient de Fresnel $F$ en chaque point de la surface par sa moyenne $<F>$ sur la surface. L'irradiance est alors donnée par :

   $$I_f(\lambda)=<FF^*> I_\infty(\lambda)$$ (2.9)

   
   
   où les indices $f$ et $\infty$ représentent l'irradiance pour un matériau de conductivité finie et infinie tandis que $F^*$ représente le conjugué de $F$. Cette solution revient à approximer une somme de produit par un produit de somme.

   Contrairement aux deux restrictions précédentes qui peuvent être ignorées dans la plupart des applications pratiques, cette dernière restriction interdit a priori d'utiliser l'équation 2.5 pour des isolants ou des matériaux de faible conductivité. Nous pouvons toutefois considérer que l'équation 2.5, sans nous donner une expression exacte de l'irradiance, nous fournit une bonne description qualitative du phénomène de réflexion à la surface d'un matériau. Cette hypothèse est confirmée par l'équation 2.9.

4. Les ombrages et masquages ne sont pas pris en compte par le modèle. On peut tenir compte de cet effet en substituant $S(x,y)h(x,y)$ à $h(x,y)$ où $S(x,y)$ est une fonction de masquage égale à 0 ou $1$ selon que point est masqué ou pas. Il reste toutefois à définir dans ce cas un modèle pour la fonction $S$.

5. Les réflexions multiples ne sont également pas prises en compte. Encore une fois cette restriction est imposée pour obtenir une expression explicite de l'irradiance.

6. Le champ électromagnétique incident est supposé plan et polarisé perpendiculairement. Ces restrictions sont encore une fois imposées pour des raisons de simplicité. Beckmann a proposé plusieurs approches pour traiter le cas d'ondes de polarisation quelconque. L'hypothèse d'onde plane est justifié lorsque la source lumineuse est à une distance importante de l'objet. Ceci sera vérifié lors de nos acquisitions.