Les opérateurs de convolution

Dans les cas usuels, la fonction $f$ comporte souvent du bruit. Ce bruit peut parasiter la détection des contours de $f$ en créant des sauts de valeurs artificiels. Un moyen simple de diminuer le bruit est de convoluer la fonction $f$ avec un filtre passe-bas. La convolution de deux fonctions $f$ et $g$ de dans définit la fonction $f*g$ :

$$f*g(x,y) = \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} f(u,v... ...-u,y-v)dt= \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x-u,x-v)g(u,v)dt$$

Le filtre passe-bas le plus connu est sans doute la gaussienne notée $G$ et définie par :

$$G(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}$$

Le paramètre $\sigma$ contrôle l'aplatissement de la gaussienne et permet donc de contrôler la puissance du filtre. Une forte valeur de $\sigma$ induit un fort lissage et vice-versa. La convolution d'un signal avec la gaussienne s'effectue en limitant celle-ci à un support fini $[-M_\epsilon,M_\epsilon]$ avec :

$$\forall x \in [-M_\epsilon,M_\epsilon]~~G(x) < \epsilon.$$

On peut remarquer que la valeur $M_\epsilon$ est une fonction croissante de $\sigma$, donc plus l'on voudra lisser le signal plus l'on devra agrandir le support $[-M_\epsilon,M_\epsilon]$ de la gaussienne.

Une des principales raisons de la popularité de la gaussienne est sa séparabilité. Si $G(x,y)$ représente une gaussiennne 2D on a :

$$\begin{array}{lll} G(x,y) &=& \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{... ... G(x,y) &=& \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}g(x)g(y).\\ \end{array}$$

Donc si nous convoluons une fonction 2D $f$ avec $G$, on a :

$$\begin{array}{lll} f*G(x,y) &=& \int_{-\infty}^{+\infty}\int... ...y) &=& \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}g*_xf*_yg(x,y)\\ \end{array}$$

où $*_x$ et $*_y$ représentent les convolutions par rapport aux variables $x$ et $y$.

La convolution de $f$ avec la gaussienne 2D $G$ peut donc être réalisée grâce à deux convolutions de signaux 1D. Ceci permet d'utiliser deux convolutions avec des masques 1D $[-M_\epsilon,M_\epsilon]$ plutôt qu'avec un masque 2D de taille $[-M_\epsilon,M_\epsilon]^2$. Convoluer une image comportant $m$ pixels avec une gaussienne dont la taille du masque est égale à $n$ réclame donc 2mn opérations, l'utilisation d'un masque 2D réclamant quant à elle mn^2 opérations.

Une des propriétés essentielles du produit de convolution, en segmentation, est la possibilité de placer alternativement la dérivée sur un membre ou sur l'autre. Plus précisément on a :

Donc si $G*f$ représente l'image filtrée par une gaussienne, le gradient de l'image filtrée peut tout simplement s'effectuer en calculant la convolution de $f$ avec le gradient de G, G, qui peut être précalculé une fois pour toute. De même, le filtrage d'une image par une gaussienne $G$, puis le calcul de son laplacien peuvent s'effectuer grâce à une seule convolution $\laplac{G}*f$.